利用导数研究曲线上某点切线方程试题及答案-高中数学-云返教育

曲线y=x³-2x+1在点（1，0）处的切线方程为．

答案解析

类型： 填空题 难度系数：中
已知函数f（x）=
lnx+a
e^x
，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=xf′（x），求证：对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＜1+
1
e²
．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在点P处的切线斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值点；
（Ⅲ）对定义域内任意一个x，不等式f（x）≤2x-2是否恒成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知函数f(x)=
1
2
x
²
-lnx，g(x)=lnx-x．
（1）求f（x）在（1，
1
2
）处的切线方程；
（2）若h（x）=f（x）+ag（x），a＞1．
①讨论函数h（x）的单调性；
②若对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，均有
h(x₁)-h(x₂)
x₁-x₂
＞-1，求实数a的取值范围．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知函数f（x）=x³-3x
（Ⅰ）求曲线在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调区间并比较f（x）与f（1）的大小关系
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x³+x²[f′(x)+
m
2
]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知直线l与曲线f（x）=sinx+cos（π-x）-
x
2
（x∈[0，π]）相切，则直线l的斜率的最小值为．

答案解析

类型： 填空题 难度系数：中
已知函数f（x）=x-4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．

答案解析

类型： 填空题 难度系数：中
给出下列命题：
①y=1是幂函数
②函数f（x）=2^x-log₂x的零点有1个
③
√x-1
(x-2)≥0的解集为[2，+∞）
④“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件
⑤函数y=x³在点O（0，0）处切线是x轴
其中真命题的序号是（写出所有正确命题的编号）

答案解析

类型： 填空题 难度系数：中
若曲线f（x）=ax³+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是．

答案解析

类型： 填空题 难度系数：中
过曲线y=x³-2x上点（1，-1）的切线方程的一般形式是．

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类型： 填空题 难度系数：中
点P在曲线y=lnx+2上运动，点Q在直线x-y+4=0上运动，则P，Q两点的最短距离是．

答案解析

类型： 填空题 难度系数：中
已知函数f（x）=
x+a
x+1
，g（x）=（1-a）e^x（I）若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-3y+1=0平行，求实数a的值；
（II）当0＜a＜1时，求函数F（x）=f（x）-g（x）在x∈（0，1]上的值域．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知二次函数f（x）=mx²-2x+m其中实数m为常数．
（1）求m的值，使函数f（x）的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²-4x-2y=0也相切．
（2）当m＞0时，求关于x的不等式f（x）≤0的解集M．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知函数f（x）=x³+ax+b满足f（0）=f（1），又P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是其图象上不同两点．
（1）求证：曲线y=f（x）关于点（0，b）中心对称．
（2）设0≤x₁＜x₂，证明存在x₀∈（x₁，x₂），使y=f（x）在点R（x₀，f（x₀））处的切线平行于PQ，用x₁，x₂表示x₀，并说明x₀在区间（x₁，x₂）中点M的左侧还是右侧．
（3）设0≤x₁＜x₂≤1，求证：|f（x₁）-f（x₂）|＜1．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a=
3
2
，求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知曲线C：y=x³．
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（2）设直线3x+y+1=0是函数y=f（x）图象的一条切线，求函数y=f（x）的单调区间．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中
已知点M（x₁，f（x₁））是函数f（x）=
1
x
，x∈（0，+∞）图象C上的一点，记曲线C在点M处的切线为l．
（1）求切线l的方程；
（2）设l与x轴，y轴的交点分别为A、B，求△AOB周长的最小值．

答案解析

类型： 解答题 难度系数：中

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