（2012?上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．试题及答案-解答题-云返教育

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（2012?上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=

，EF⊥OD，垂足为F．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

见解析

解：（1）二次函数y=ax²+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴

{	16a+6×4+c=0 a-6+c=0

，解得

{

a=-2

c=8

，
∴这个二次函数的解析式为：y=-2x²+6x+8；

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO
∴

．
∵

=tan∠DAE=

，
∴

，
∴EF=

t．
同理

，
∴DF=2，
∴OF=t-2．

（3）∵抛物线的解析式为：y=-2x²+6x+8，
∴C（0，8），OC=8．
如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．
∵∠ECA=∠OAC，
在△GCA与△OAC中，

{	∠GCA=∠CAO AC=AC ∠COA=∠CGA

，
∴△GCA≌△OAC，
∴CG=4，AG=OC=8．
如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，
∴EM=OF=t-2，AM=OA+OM=OA+EF=4+

t，
由勾股定理得：
∵AE²=AM²+EM²=(4+

t)²+(t-2)²；
在Rt△AEG中，由勾股定理得：
∴EG=

√AE²-AG²

√(4+

t)²+(t-2)²-8²

√

t²-44

∵在Rt△ECF中，EF=

t，CF=OC-OF=OC-EM=8-（t-2）=10-t，CE=CG+EG=

√

t²-44

+4
由勾股定理得：EF²+CF²=CE²，
即(

t)²+(10-t)²=(

√

t²-44

+4)²，
解得t₁=10，t₂=6，
∵当t=10时，CF=10-10=0，
∴不合题意舍去，
∴t=6．

另解：延长CE至x轴交于点K．
∵∠ECA=∠OAC（已知）
∴AK=CK（等角对等边）
设OK=x，则AK=4+x．
在Rt△COK中，CO=8，OK=x
根据勾股定理得，CK=

√CO²+OK²

√64+X²

，
∴根号64+x²=4+x，
解得x=6，
∵△DEF∽△CKO（两角对应相等）
∴EF：KO=DF：CO，
即0.5t：6=10-t：8，
解得t=6．

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