如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l

分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．

见解析

解：（1）∵直线l垂直平分线段AC，
∴∠AFO=∠CFO，

∵∠CFO+∠FCO=∠CAB+∠FCO=90°，
∴∠AFO=∠CAB，
∵∠AOF=∠CBA=90°，
∴△ABC∽△FOA．

（2）由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF与△AOE中，

{	∠FAC=∠EAC AO=AO ∠AOF=∠AOE

，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AE=AF，FO=EO．
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴四边形AFCE是菱形．

标签