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  • 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，4√3），延长AC到点D，使CD=12AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，4
      √3
      ），延长AC到点D，使CD=
      1
      2
      AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
      （1）求D点的坐标；
      （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
      （3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵A（-6，0），C（0，4
      √3
      ）
      ∴OA=6，OC=4
      √3

      设DE与y轴交于点M
      由DE∥AB可得△DMC∽△AOC
      又∵CD=
      1
      2
      AC
      ∴
      MD
      OA
      =
      CM
      CO
      =
      CD
      CA
      =
      1
      2

      ∴CM=2
      √3
      ，MD=3
      同理可得EM=3
      ∴OM=6
      √3

      ∴D点的坐标为（3，6
      √3
      ）；

      （2）由（1）可得点M的坐标为（0，6
      √3
      ）
      由DE∥AB，EM=MD
      可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线
      ∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上
      ∴ED与CF互相垂直平分
      ∴CD=DF=FE=EC
      ∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心
      作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T，
      可证△FTM≌△CSM
      ∴FT=CS，
      ∵FE=CD，
      ∴TE=SD，
      ∵EC=DF，
      ∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS，
      ∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，
      由点B（6，0），点M（0，6
      √3
      ）在直线y=kx+b上，可得直线BM的解析式为y=-
      √3
      x+6
      √3
      ．

      （3）设点P在AG上的运动速度为x，点P在Y轴上的运动速度为2x，
      则点P到达点A的时间为t=
      MG
      2x
      +
      GA
      x
      =
      1
      x
      （
      MG
      2
      +GA）
      过点G作GH垂直于BM，由于角BMO=30°，
      ∴
      MG
      2
      =GH，
      ∴t=
      1
      x
      （
      MG
      2
      +GA）=
      1
      x
      （GH+GA），
      要使t最小，则GH+GA最小，即当点G、A、H三点一线时，t有最小值，
      确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点
      由OB=6，OM=6
      √3
      ，
      可得∠OBM=60°，
      ∴∠BAH=30°，
      在Rt△OAG中，OG=AO?tan∠BAH=2
      √3
      ，
      ∴G点的坐标为(0，2
      √3
      )．（或G点的位置为线段OM的中点）
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