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  • （2005?扬州）若一个矩形的短边与长边的比值为√5-12（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2005?扬州）若一个矩形的短边与长边的比值为
      √5
      -1
      2
      （黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．
      （1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；
      （2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；
      （3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图．

      （2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．
      ∵四边形AEFD是正方形，
      ∴∠AEF=90°
      ∴∠BEF=90°，
      ∵四边形ABCD是矩形，
      ∴∠B=∠C=90°
      ∴∠BEF=∠B=∠C=90°，
      ∴四边形EBCF是矩形．
      【方法1】设CD=a，AD=b，则
      b
      a
      =
      √5
      -1
      2

      ∴
      CF
      EF
      =
      a-b
      b
      =
      a
      b
      -1=
      2
      √5
      -1
      -1=
      2(
      √5
      +1)
      4
      -1=
      √5
      -1
      2

      ∴矩形EBCF是黄金矩形．
      【方法2】设CD=a，则AD=
      √5
      -1
      2
      a，CF=CD-DF=a-
      √5
      -1
      2
      a=
      3-
      √5
      2
      a
      ∴
      CF
      EF
      =
      3-
      √5
      2
      a
      √5
      -1
      2
      a
      =
      3-
      √5
      √5
      -1
      =
      √5
      -1
      2

      ∴矩形EBCF是黄金矩形．

      （3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．
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