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  • 已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[12a，12b]．（Ⅰ）判断函数y=-x3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]；（Ⅱ）若函数y=√x-1+t∈M，求实数t的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：
      ①f（x）在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
      ②在f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[
      1
      2
      a，
      1
      2
      b]．
      （Ⅰ）判断函数y=-x      3是否属于集合M？并说明理由．若是，请找出区间[a，b]；
      （Ⅱ）若函数y=
      √x-1
      +t∈M，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）y=-x3的定义域是R，
      ∵y′=-3x      2≤0，∴y=-x3在R上是单调减函数．
      则y=-x      3在[a，b]上的值域是[-b3，-a3]．
      由
      {
      -b3=
      1
      2
      a
      -a3=
      1
      2
      b.
      解得：
      {
      a=-
      √2
      2
      b=
      √2
      2
      .
      或
      {
      a=
      √2
      2
      b=-
      √2
      2
      .
      （舍去）或
      {
      a=0
      b=0.
      （舍去）
      ∴函数y=-x      3属于集合M，且这个区间是[-
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ]．

      （Ⅱ）设g(x)=
      √x-1
      +t，则易知g（x）是定义域[1，+∞）上的增函数．
      ∵g（x）∈M，∴存在区间[a，b]?[1，+∞），满足g(a)=
      1
      2
      a，g(b)=
      1
      2
      b．
      即方程g(x)=
      1
      2
      x在[1，+∞）内有两个不等实根．
      [法一]：方程
      √x-1
      +t=
      1
      2
      x在[1，+∞）内有两个不等实根，
      等价于方程x-1=(
      1
      2
      x-t)2在[2t，+∞）内有两个不等实根．
      即方程x      2-（4t+4）x+4t2+4=0在[2t，+∞）内有两个不等实根．
      根据一元二次方程根的分布有
      {
      (2t)2-(4t+4)?2t+4t2+4≥0
      △=(4t+4)2-4(4t2+4)＞0
      4t+4
      2
      ＞2t.

      解得0＜t≤
      1
      2
      ．
      因此，实数t的取值范围是0＜t≤
      1
      2
      ．
      [法二]：要使方程
      √x-1
      +t=
      1
      2
      x在[1，+∞）内有两个不等实根，
      即使方程
      √x-1
      =
      1
      2
      x-t在[1，+∞）内有两个不等实根．
      如图，当直线y=
      1
      2
      x-t经过点（1，0）时，t=
      1
      2
      ，

      当直线y=
      1
      2
      x-t与曲线y=
      √x-1
      相切时，
      方程
      √x-1
      =
      1
      2
      x-t两边平方，得x2-???4t+4）x+4t2+4=0，由△=0，得t=0．
      因此，利用数形结合得实数t的取值范围是0＜t≤
      1
      2
      ．
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