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已知函数y=f(x),x∈R满足f(x)=af(x-1),a是不为0的实常数.(1)若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域;(2)若当0≤x<1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式;(3)若当0<x≤1时,f(x)=3x,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数y=f(x),x∈R满足f(x)=af(x-1),a是不为0的实常数.
(1)若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[0,1]的值域;
(2)若当0≤x<1时,f(x)=x(1-x),求函数y=f(x),x∈[n,n+1),n∈N的解析式;
(3)若当0<x≤1时,f(x)=3
x
,试研究函数y=f(x)在区间(0,+∞)上是否可能是单调函数?若可能,求出a的取值范围;若不可能,请说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=-(x-
1
2
)
2
+
1
4
,x∈[0,1],∴f(x)∈[0,
1
4
].
(2)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时.,f
n
(x)=af
n-1
(x-1)=a
2
f
n-1
(x-2)=…=a
n
f
1
(x-n),
∴f
n
(x)=a
n
(x-n)(n+1-x).
(3)当n≤x≤n+1(n≥0,n∈Z)时,f
n
(x)=af
n-1
(x-1)=a
2
f
n-1
(x-2)=…=a
n
f
1
(x-n)
∴f
n
(x)=a
n
?3
x-n
显然f
n
(x)=a
n
?3
x-n
,x∈[n,n+1],n≥0,n∈Z,
当a>0 时是增函数,此时∴f
n
(x)∈[a
n
,3a
n
]
若函数y=f(x)在区间[0,+∞)上是单调增函数,则必有a
n+1
≥3a
n
,解得a≥3;
当a<0时,函数y=f(x)在区间[0,+∞)上不是单调函数;
所以a≥3.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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