设a是实数，f（x）=a-12x+1(x∈R)（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a是实数，f（x）=a-

2^x+1

(x∈R)
（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

见解析

解：（1）设x₁，x₂是R内任意两实数，且x₁＜x₂，
所以f(x₁)-f(x₂)=a-

2^x₁+1

-a+

2^x₂+1

2^x₁-2^x₂

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
因为x₁＜x₂，所以0＜2^x₁＜2^x₂，
所以2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上为增函数．
（2）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f(0)=a-

=0，
所以a=

．
（3）由（2）知，f（x）=

2^x+1

，
因为x∈R，所以2^x+1＞1，0＜

2^x+1

＜1
所以-1＜-

2^x+1

＜0，-

＜

2^x+1

＜

，
所以f（x）的值域为(-

，

)．

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