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  • 函数f(x)=axx2+1是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）求实数a的值；（2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（x）-f（1-x）＞0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      ax
      x2+1
      是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ．
      （1）求实数a的值；
      （2）用定义证明：f（x）在（-1，1）上是增函数；
      （3）解不等式f（x）-f（1-x）＞0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(
      1
      2
      )=
      2
      5
      ，
      ∴f(
      1
      2
      )=
      1
      2
      a
      1
      4
      +1
      =
      2
      5
      a=
      2
      5
      ，
      解得a=1．
      （2）∵a=1，∴f（x）=
      x
      x2+1
      ．
      在定义域（-1，1）上任设两个变量x      1，x2，设x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=
      x1
      x
      2
      1
      +1
      -
      x2
      x
      2
      2
      +1
      =
      x1(x
      2
      2
      +1)-x2(x
      2
      1
      +1)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      =
      (x1-x2)(1-x1x2)
      (x
      2
      1
      +1)(x
      2
      2
      +1)
      ，
      ∵-1＜x      1＜x2＜1，
      ∴x      1-x2＜0，0＜x1x2＜1，即1-x1x2＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      ∴f（x）在区间（-1，1）上的是增函数．
      （3）∵f（x）-f（1-x）＞0．
      ∴f（x）＞f（1-x），
      ∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
      ∴
      {
      -1＜x＜1
      -1＜1-x＜1
      x＞1-x
      ．即
      {
      -1＜x＜1
      0＜x＜2
      x＞
      1
      2
      ，解得
      1
      2
      ＜x＜1，
      即不等式的解集为（
      1
      2
      ，1）．
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