设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)=a?4x+a-24x+1．（1）写出函数f（x）的定义域；（2）求a，并写出f（x）的表达式；（3）用函数单调性定义证明：函数f（x）在定义域上是增函数．（可能用到的知识：若x1＜x2，则0＜2x1＜2x2，0＜4x1＜4x2）试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)=

a?4^x+a-2

4^x+1

．
（1）写出函数f（x）的定义域；
（2）求a，并写出f（x）的表达式；
（3）用函数单调性定义证明：函数f（x）在定义域上是增函数．（可能用到的知识：若x₁＜x₂，则0＜2^x₁＜2^x₂，0＜4^x₁＜4^x₂）

见解析

解：（1）由题意f(2x)=

a2^2x+a-2

2^2x+1

∴f(x)=

a2^x+a-2

2^x+1

（2???）
故函数f（x）的定义域为R（4分）
（2）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）对任意的x∈R都成立∴f（0）=0（7分）
即a+a-2=0∴a=1（10分）
所以f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

（11分）
（3）对任意的x₁，x₂∈R且x₁＜x₂（14分）f(x₁)-f(x₂)=1-

2^x₁+1

-(1-

2^x₂+1

)
=

2^x₂+1

2^x₁+1

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＜0（16分）
即f（x₁）＜f（x₂）
函数f（x）在R上单调递增（17分）

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