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  • 函数f(x)=xx+1的单调增区间是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      x
      x+1
      的单调增区间是          ．

      试题解答

      （-∞，-1），（-1，+∞）
      解：函数f(x)=
      x
      x+1
      的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
      事实上，
      函数f(x)=
      x
      x+1
      的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）．
      当x      1＜x2＜-1时，
      f(x      1)-f(x2)=
      x1
      x1+1
      -
      x2
      x2+1
      =
      x1(x2+1)-x2(x1+1)
      (x1+1)(x2+1)

      =
      x1x2+x1-x1x2-x2
      (x1+1)(x2+1)
      =
      x1-x2
      (x1+1)(x2+1)
      ．
      ∵x      1＜x2＜-1，∴x1+1＜0，x2+1＜0，x1-x2＜0．
      ∴
      x1-x2
      (x1+1)(x2+1)
      ＜0．
      则f（x      1）＜f（x2）．
      所以函数f(x)=
      x
      x+1
      在区间（-∞，-1）上为增函数；
      当x      1＞x2＞-1时，
      f(x      1)-f(x2)=
      x1
      x1+1
      -
      x2
      x2+1
      =
      x1(x2+1)-x2(x1+1)
      (x1+1)(x2+1)

      =
      x1x2+x1-x1x2-x2
      (x1+1)(x2+1)
      =
      x1-x2
      (x1+1)(x2+1)
      ．
      ∵x      1＞x2＞-1，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＞0．
      ∴
      x1-x2
      (x1+1)(x2+1)
      ＞0．
      则f（x      1）＞f（x2）．
      所以函数f(x)=
      x
      x+1
      在区间（-1，+∞）上为增函数．
      综上，函数f(x)=
      x
      x+1
      的单调增区间是（-∞，-1），（-1，+∞）．
      故答案为（-∞，-1），（-1，+∞）．
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