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设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.(1)证明f(x)在[-1,1]上是减函数;(2)如果f(x-c),f(x-c2)的定义域的交集为空集,求实数c的取值范围;(3)证明:若-1≤c≤2,则f(x-c),f(x-c2)存在公共的定义域,并求出这个公共的定义域.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
(1)证明f(x)在[-1,1]上是减函数;
(2)如果f(x-c),f(x-c
2
)的定义域的交集为空集,求实数c的取值范围;
(3)证明:若-1≤c≤2,则f(x-c),f(x-c
2
)存在公共的定义域,并求出这个公共的定义域.
试题解答
见解析
解:(1)由已知对任意的x
1
、x
2
∈[-1,1],且x
1
≠x
2
,
都有
f(x
1
)-f(x
2
)
x
1
-x
2
<0,从而x
1
-x
2
与f(x
1
)-f(x
2
)异号,
所以f(x)在[-1,1]上是减函数.
(2)因为f(x-c)的定义域是[c-1,c+1],f(x-c
2
)的定义域是[c
2
-1,c
2
+1],
因为以上两个集合的交集为空集,所以c
2
-1>c+1或c
2
+1<c-1解得:c>2或c<-1
(3)因为c
2
+1>c-1恒成立,有(2)问可知:当-1≤c≤2时,
f(x-c),f(x-c
2
)存在公共的定义域.
若c
2
-1≤c+1,即1≤c≤2或-1≤c≤0时,c
2
+1≥c+1,c
2
-1≥c-1,此时的交集是[c
2
-1,c+1],即为公共的定义域;
若0<c<1,则c
2
+1<c+1,c
2
-1<c-1,此时的交集是[c-1,c
2
+1],即为公共的定义域.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
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正整数指数函数
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函数零点的判定定理
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