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  • 已知函数f（x）=x 2+ax+ax，且a＜1．（1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；（2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．（3）设函数g（x）=x?f（x）+|x2-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并比较1x1+1x2与4的大小．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x 2+ax+a
      x
      ，且a＜1．
      （1）当x∈[1，+∞）时，判断f（x）的单调性并证明；
      （2）在（1）的条件下，若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
      （3）设函数g（x）=x?f（x）+|x      2-1|+（k-a）x-a，k为常数．若关于x的方程g（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并比较
      1
      x1
      +
      1
      x2
      与4的大小．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题得：f（x）=x+
      a
      x
      +a，设1≤x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=(x1+
      a
      x1
      +a)-(x2+
      a
      x2
      +a)=x1-x2+
      a
      x1
      -
      a
      x2

      =（x      1-x2）
      (x1x2-a)
      x1x2
      ，
      ∵1≤x      1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞1，又a＜1，得x1x2-a＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
      （2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，
      要满足f（5-2m）＜f（3m）
      只要1≤5-2m＜3m，
      ∴m的取值范围为：1＜m≤2．
      （3）g（x）=x?f（x）+|x      2-1|+（k-a）x-a=x2+kx+|x2-1|
      g（x）=0在（0，2）上有两个解x      1，x2，不妨设0＜x1＜x2＜2，
      g（x）=
      {
      kx+1，0＜x≤1
      2x2+kx-1，1＜x＜2
      ，
      所以g（x）在（0，1]是单调函数，
      故g（x）=0在（0，1]上至多一个解，
      若1＜x      1＜x2＜2，则x1x2=-
      1
      2
      ＜0，
      故不符题意，
      因此0＜x      1≤1＜x2＜2．
      由g（x      1）=0得k=-
      1
      x1
      ，所以k≤-1；
      由g（x      2）=0得k=
      1
      x2
      -2x2，所以-
      7
      2
      ＜k＜-1；
      故当-
      7
      2
      ＜k＜-1时，方程g（x）=0在（0，2）上有两个解．
      方法一：因为0＜x      1≤1＜x2＜2，
      所以k=-
      1
      x1
      ，2x22+kx2-1=0
      消去k得2x      1x22-x1-x2=0
      即
      1
      x1
      +
      1
      x2
      =2x2，因为x2＜2，
      所以
      1
      x1
      +
      1
      x2
      ＜4．
      方法二：由g（x      1）=0得x1=-
      1
      k，

      由2x      2+kx-1=0得x=
      -k±
      √k2+8
      4
      ；
      因为x      2∈（1，2），所以x2=
      -k+
      √k2+8
      4
      ．
      则
      1
      x1
      +
      1
      x2
      =-k+
      -k+
      √k2+8
      4
      =
      1
      2
      (
      √k2+8
      -k)．
      而y=
      1
      2
      (
      √k2+8
      -k)=
      4
      √k2+8?
      +k
      在(-
      7
      2
      ，-1)上是减函数，
      则
      1
      2
      (
      √k2+8
      -k)＜
      1
      2
      (
      √(-
      7
      2
      )2+8
      +
      7
      2
      )=4．
      因此，
      1
      x1
      +
      1
      x2
      ＜4．
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