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已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和函数g(x)=bx-1a2x+2b,方程g(x)=x有两个不等非零实根x1、x2(x1<x2).(1)证明函数f(x)在(-1,1)上是单调函数;(2)若方程f(x)=0的两实根为x3,x4(x3<x4),求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知二次函数f(x)=ax
2
+bx+1和函数g(x)=
bx-1
a
2
x+2b
,方程g(x)=x有两个不等非零实根x
1
、x
2
(x
1
<x
2
).
(1)证明函数f(x)在(-1,1)上是单调函数;
(2)若方程f(x)=0的两实根为x
3
,x
4
(x
3
<x
4
),求使x
3
<x
1
<x
2
<x
4
成立的a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由g(x)=
bx-1
a
2
x+2b
=x?方程a
2
x
2
+bx+1=0(*)有不等实根∴△=b
2
-4a
2
>0及a≠0,?|
b
2a
|>1,即-
b
2a
<-1,或-
b
2a
>1
又f(x)的对称轴x=-
b
2a
?(-1,1)
故f(x)在(-1,1)上是单调函数
(2)因x
1
、x
2
是方程(*)的根,∴a
2
x
1
2
+bx
1
+1=0∴bx
1
=-a
2
x
1
2
-1
同理bx
2
=-a
2
x
2
2
-1∴f(x
1
)=ax
1
2
+b
1
x
1
+1=ax
1
2
-a
2
x
1
2
+1=(a-a
2
)x
1
2
,同理f(x
2
)=(a-a
2
)x
2
2
要使x
3
<x
1
<x
2
<x
4
,只需
{
a>0
f(x
1
)<0
f(x
2
)<0
?
{
a>0
a-a
2
<0
?a>1
或
{
a<0
f(x
1
)>0
f(x
2
)>0
?
{
a<0
a-a
2
>0
??
故a的取值范围a>1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
已知函数f(x)=2x+12x-1(1)求f(x)的定义域和值域;(2)讨论f(x)的奇偶性并证明;(3)判断f(x)在(0,+∞)的单调性并证明.?
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设,则的大小关系是?
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已知函数(1)若,判断函数在上的单调性并用定义证明;(2)若函数在上是增函数,求实数的取值范围.?
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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