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  • 设函数f（x）的解析式满足f(x+1)=x2+2x+a+1x+1 (a＞0)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；（3）当a=1时，记函数g(x)={f(x)，x＞0f(-x) ，x＜0，求函数g（x）在区间[-2，-12]上的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的解析式满足f(x+1)=
      x2+2x+a+1
      x+1
      (a＞0)．
      （1）求函数f（x）的解析式；
      （2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
      （3）当a=1时，记函数g(x)=
      {
      f(x)，x＞0
      f(-x) ，x＜0
      ，求函数g（x）在区间[-2，-
      1
      2
      ]上的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设x+1=t（t≠0），则x=t-1，
      ∴f(t)=
      (t-1)2+2(t-1)+2a+1
      t
      =
      t2+a
      t

      ∴f(x)=
      x2+a
      x

      （2）当a=1时，f(x)=
      x2+1
      x
      =x+
      1
      x

      f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
      证明：设0＜x      1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=(x1+
      1
      x1
      )-(x2+
      1
      x2
      )=(x1-x2)+(
      1
      x1
      -
      1
      x2
      )=(x1-x2)+
      x2-x1
      x1x2
      (x1-x2)(1-
      1
      x1x2
      )=
      (x1-x2)
      x1x2
      (x1x2-1)（8分）
      ∵0＜x      1＜x2＜1，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＜0，
      ∴
      (x1-x2)
      x1x2
      (x1x2-1)＞0，∴f（x1）-f（x2）＞0?f（x1）＞f（x2）
      所以，f（x）在（0，1）上单调递减，
      同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增
      （3）∵g(-x)=
      {
      f(-x)，-x＞0
      f(x) ，-x＜0
      =
      {
      f(-x)，x＜0
      f(x)，x＞0
      =g(x)，
      ∴g（x）为偶函数，
      所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，
      又当a=1，x∈[
      1
      2
      ，2]时，由（2）知g(x)=x+
      1
      x
      在[
      1
      2
      ，1]单调减，[1，2]单调增，
      ∴g(x)      min=g(1)=2，g(x)max=g(
      1
      2
      )=g(2)=
      5
      2

      ∴当a=1时，函数g（x）在区间[-2，-
      1
      2
      ]上的值域的为[2，
      5
      2
      ]
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