设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3．（1）求a，b，c的值；（2）判断f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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设函数f(x)=

ax²+1

bx+c

是奇函数（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）判断f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

见解析

解：（1）由f(x)=

ax²+1

bx+c

是奇函数，
得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，
则

a(-x)²+1

b(-x)+c

ax²+1

bx+c

，
即-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，
∴c=0，
由

{	f(1)=2 f(2)＜3

，得

{

a+1

=2①

4a+1

＜3②

，
由①得a=2b-1，代入②得

2b-3

＜0，
∴0＜b＜

，
又a，b，c是整数，
得b=1，此时a=2-1=1．
（2）由（1）知，f（x）=

x²+1

=x+

在（-∞，-1]上单调递增．
证明：设x₁＜x₂≤-1，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+

x₁

-（x₂+

x₂

）
=x₁-x₂+

x₂-x₁

x₁x₂

=（x₁-x₂）（1-

x₁x₂

），
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x₁-x₂＜0，1-

x₁x₂

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．

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