已知函数f(x)=aa2-1(ax-a-x)，（a＞0，a≠1）（1）判断并证明f（x）的单调性；（2）若当x∈（-∞，2）时，f（x）-4＜0恒成立，求a得取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a²-1

(a^x-a^-x)，（a＞0，a≠1）
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若当x∈（-∞，2）时，f（x）-4＜0恒成立，求a得取值范围．

见解析

解：（1）f（x）在R上是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
由于f(x₁)-f(x₂)=

a²-1

(a^x₁-a^-x₂)-

a²-1

(a^x₂-a^-x₂)
=

a²-1

(a^x₁-a^x₂)?

a^x₁a^x₂+1

a^x₁a^x₂

，
由题设可得 a^x₁a^x₂+1＞0，a^x₁a^x₂＞0，
当a＞1时，因为x₁＜x₂，a^x₁-a^x₂＜0，

a²-1

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是增函数．
当0＜a＜1时，因为x₁＜x₂，a^x₁-a^x₂＞0，

a²-1

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是增函数．
综上，f（x）在R上是增函数．
（2）因为f（x）在（-∞，2）单调递增，f（x）-4＜0恒成立，
所以

a²-1

(a²-a^-2)≤4，解得 2-

√3

≤a≤2+

√3

且a≠1，
故a的范围为[2-

√3

，1）∪（1，2+

√3

]．

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