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  • 已知函数f（x）=4-1x（x＞0），（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=4-
      1
      x
      （x＞0），
      （Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
      （Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=(4-
      1
      x1
      )-(4-
      1
      x2
      )
      =
      1
      x2
      -
      1
      x1
      =
      x1-x2
      x1x2
      ．
      ∵x      1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，x1x2＞0，
      则f(x      1)-f(x2)=
      x1-x2
      x1x2
      ＜0．
      即f（x      1）＜f（x2）．
      ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
      （Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
      又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），
      ∴
      {
      f(m)=4-
      1
      m
      =m
      f(n)=4-
      1
      n
      =n
      ，
      解得：
      {
      m=2-
      √3
      n=2+
      √3
      ．
      ∴m=2-
      √3
      ，n=2+
      √3
      ．
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