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  • 已知函数f（x）=x，函数g（x）是反比例函数，且g（1）=2，令h（x）=f（x）-g（x）．（1）求函数g（x），并证明函数h（x）在（0，+∞）上是单调增函数；（2）解h（x）＞1．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x，函数g（x）是反比例函数，且g（1）=2，令h（x）=f（x）-g（x）．
      （1）求函数g（x），并证明函数h（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
      （2）解h（x）＞1．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设g(x)=
      k2
      x
      ，令g（1）=2，解得k2=2
      ∴g(x)=
      2
      x
      ．------------------（2分）
      依题意h(x)=x-
      2
      x
      ，设x1＜x2∈（0，+∞），
      则h(x      1)-h(x2)=x1-
      2
      x1
      -(x2-
      2
      x2
      )=
      (x      1-x2)+(
      2
      x2
      -
      2
      x1
      )=(x1-x2)+
      2(x1-x2)
      x1x2

      =(x      1-x2)(1+
      2
      x1x2
      )＜0即h（x1）＜h（x2），
      ∴函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是单调增函数．-------------（8分）
      （2）由h（x）=1得x=2或x=-1，---------（10分）
      又函数h（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是单调增函数，
      ∴h（x）在（-∞，0）上也是单调增函数，-------------------（12分）
      ∴h（x）＞1的解集为（-1，0）∪（2，+∞）---------------（14分）
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