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  • 已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对?x1，x2∈（0，+∞）恒有f(x1x2)=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值；（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数；（3???若f（3）=-1，（ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3x）＜-2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：对?x1，x2∈（0，+∞）恒有f(
      x1
      x2
      )=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．
      （1）求f（1）的值；
      （2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调递减函数；
      （3???若f（3）=-1，
      （ⅰ）求f（9）的值；（ⅱ）解不等式：f（3      x）＜-2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f(
      x1
      x2
      )=f(x1)-f(x2)
      令x      1=x2=1，???入上式解得f（1）=0，
      （2）设x      2＞x1＞0，则 f(x2)-f(x1)=f(
      x2
      x1
      )
      ∵x      2＞x1＞0，∴
      x2
      x1
      ＞1，∴f(
      x2
      x1
      )＜0，
      即f（x      2）-f（x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1）
      ∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
      （3）∵f（3）=-1，∴f（9）=f（3）+f（3）=-2，
      ∴不等式f（3      x）＜-2可化为f（3x）＜f（9），
      又∵函数在（0，+∞）上是减函数，∴3      x＞9，
      即3      x＞32，解得：x＞2，
      即不等式的解集为 （2，+∞）．
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