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  • 已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a2，最大值是b2．请解答以下问题：（1）判断函数g（x）=-x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；（2）若函数h(x)=√x-1+t∈M，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是
      a
      2
      ，最大值是
      b
      2
      ．请解答以下问题：
      （1）判断函数g（x）=-x      3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
      （2）若函数h(x)=
      √x-1
      +t∈M，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数g（x）=-x3的定义域为 R，g′（x）=-3x2≤0 （仅在x=0时取等号），
      故函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．
      若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，
      {
      g(a)=
      b
      2
      g(b)=
      a
      2
      a＜b
      ，即
      {
      -a3=
      b
      2
      -b3=
      a
      2
      a＜b
      ，解得
      {
      a=-
      √2
      2
      b=
      √2
      2
      ，故满足条件②的闭区间为[-
      √2
      2
      ，
      √2
      2
      ]．
      由此可得，g（x）属于集合M．
      （2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′(x)=
      1
      2
      √x-1
      ＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，…（10分）
      若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=
      a
      2
      ，h(b)=
      b
      2
      ，即a-2
      √a-1
      -2t=0，且b-2
      √b-1
      -2t=0，…（12分）
      令
      √x-1
      =y(x≥1)，则y≥0，
      于是关于y的方程y      2-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，…（14分）
      记u（y）=y      2-2y+1-2t，∴
      {
      △＞0
      u(0)≥0.
      ，∴t∈(0，
      1
      2
      ]．…（16分）
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