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已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）在x∈（0，1）时f(x)=2x4x+1，（1）试求f（x）的解析式；（2）试判断并证明f（x）在（0，1）上的单调性；（3）当λ取何值时，不等式λ4x-2x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解？试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）在x∈（0，1）时f(x)=

2^x

4^x+1

，
（1）试求f（x）的解析式；
（2）试判断并证明f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）当λ取何值时，不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解？

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）为（-1，1）上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0），解得f（0）=0；
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
∵x∈（0，1）时f(x)=

2^x

4^x+1

，
∴f（-x）=

2^-x

4^-x+1

2^x

1+4^x

，
又f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-

2^x

1+4^x

；
∴f(x)=

{

2^x

4^x+1

，x∈(0，1)

0，x=0

2^x

1+4^x

，x∈(-1，0)

．
（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明如下：
x∈（0，1）时f(x)=

2^x

4^x+1

，
任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

2^x₁(4^x₂+1)-2^x₂(4^x₁+1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

(2^x₂-2^x₁)(2^x₁+x₂-1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

，
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₁+x₂-1＞0，4^x₁+1＞0，4^x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）令t=2^x，∵x∈（0，1），∴t∈（1，2），
则λ4^x-2^x+λ＞0 化为λt²-t+λ＞0，即λ＞

t²+1

，
∴不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解，等价于λ＞

t²+1

在（1，2）上有实数解，
∵

t²+1

，且t+

在（1，2）上递增，
∴

在（1，2）上递减，
∴

＜

，即

＜

，
∴λ＞

，即λ＞

时不等式λ4^x-2^x+λ＞0 在x∈（0，1）上有实数解．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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