已知函数（1）求f（x）的定义域和值域；（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数

（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）写出f（x））的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性．

见解析

（1）

要使函数成立，需满足4^x≠1，即4^x≠4，解得≠0
∴定义域为x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．

y＞1或y＜-1
∴函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0）
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

，
∴

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
设x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=

∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴

，
∴

＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0（，∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（-∞，0）上为减函数．

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