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已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)是定义在R上的增函数,设F(x)=f(x)-f(a-x).
(1)用函数单调性的定义证明:F(x)是R上的增函数;
(2)证明:函数y=F(x)的图象关于点(
,0)成中心对称图形.
试题解答
见解析
(1)任取x
1
,x
2
∈R,且x
1
<x
2
,
则F(x
1
)-F(x
2
)
=f(x
1
)-f(a-x
1
)-[f(x
2
)-f(a-x
2
)].
=[f(x
1
)-f(x
2
)]+[f(a-x
2
)-f(a-x
1
)].
∵x
1
<x
2
,∴-x
1
>-x
2
,∴a-x
1
>a-x
2
,
∵函数f(x)是定义在R上的增函数,∴f(x
1
)<f(x
2
),f(a-x
2
)<f(a-x
1
).
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,f(a-x
2
)-f(a-x
1
)<0.
∴[f(x
1
)-f(x
2
)]+[f(a-x
2
)-f(a-x
1
)]<0.
即F(x
1
)<F(x
2
),
∴F(x)是R上的增函数.
(2)设M(x
,y
)为函数y=F(x)的图象上任一点,设点M(x
,y
)关于点(
,0)的对称点为N(m,n),
则
=
,0=
,,∴m=a-x
,n=-y
,
∵把m=a-x
代入F(x)=f(x)-f(a-x).
得,f(a-x
)-f(a-a+x
)=f(a-x
)-f(x
)=-y
=n
即点N(m,n)在函数F(x)的图象上.
∴函数y=F(x)的图象关于点(
,0)成中心对称图形.
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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函数零点的判定定理
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