已知函数f1（x）=mx2的图象过点（1，1），函数y=f2（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f2（x）=x-a，若f（x）=f1（x）f2（x）．（1）求函数f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）在区间[2，3]上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f₁（x）=mx²的图象过点（1，1），函数y=f₂（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f₂（x）=x-a，若f（x）=f₁（x）f₂（x）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）在区间[2，3]上的最小值．

试题解答

见解析

解：（1）∵函数f₁（x）=mx²的图象过点（1，1），
∴f₁（1）=1，
∴m=1），
∴f₁（x）=x²
∵函数y=f₂（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f₂（x）=x-a，
∴f₂（x）=|x-a|，
∵f（x）=f₁（x）f₂（x）．
∴f（x）=x²|x-a|，
（2）当a≤2时，f（x）=x²（x-a）???
∴f′（x）=3x²-2ax
当x∈[2，3]时f′（x）＞0，
∴f（x）是增函数
∴f（x）_min=f（2）=8-4a
当2＜a≤3时f（x）=x²|x-a|，f（a）=0
∴f（x）_min=f（a）=0
当a＞3时f（x）=ax²-x³
f′（x）=2ax-3x²
当3＜a＜

???f（x）在[2，

a]增，在[

a，3]减
∴f（x）_min=f（2）=4a-8或f（x）_min=f（3）=9a-27
当4a-8＞9a-27即a＜

当3＜a＜

时f（x）_min=f（3）=9a-27
当

＜a＜

时f（x）_min=f（2）=4a-8
当a≥

时f（x）_min=f（2）=4a-8
∴f（x）min=

{

8-4a a≤2

0 2＜a≤3

a-27 3＜a＜

4a-8 a≥

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必修1 人教A版单选题高中数学

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