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已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)试判断函数f???x)的单调性,并证明;(2)试解不等式f(x)+f(x-2)<3.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)试判断函数f???x)的单调性,并证明;
(2)试解不等式f(x)+f(x-2)<3.
试题解答
见解析
解:(1)由题意可得 f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1)=2f(1),∴f(1)=0.
令y=
1
x
,可得 f(1)=0=f(x)+f(
1
x
),∴f(
1
x
)=-f(x).
设 x
2
>x
1
>0,则
x
2
x
1
>1,∴f(
x
2
x
1
)=f(x
2
)+f(
1
x
1
)=f(x
2
)-f(x
1
)>0,
即 f(x
2
)>f(x
1
),函数f(x)在(0???+∞)上是增函数.
(2)不等式f(x)+f(x-2)<3 即 f[x(x-2)]<3.
由于 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3,
故不等式即 f[x(x-2)]<f(8).
由
{
x>0
x-2>0
x(x-2)<8
解得 2<x<4,故不等式的解集为 (2,4).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
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集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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正整数指数函数
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