已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R)；（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，+∞）上均为增函数；（2）若f（x）为奇函数，求a的值；（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=a-

2^x+1

(x∈R)；
（1）求证：不论a为何实数，f（x）在（-∞，+∞）上均为增函数；
（2）若f（x）为奇函数，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．

见解析

（1）证明：f（x）的定义域为R，任取x₁＜x₂，
则f(x₁)-f(x₂)=a-

2^x₁+1

-(a-

2^x₂+1

2^x₁-2^x₂

(1+2^x₁)(1+2^x₂)

∵x₁＜x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，(1+2^x₁)(1+2^x₂)＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以，无论a为何实数，f（x）总为增函数．
（2）解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即a-

2⁰+1

=0
解得a=

．
（3）由（2）知，f(x)=

2^x+1

(x∈R)，
由（1）知f（x）为区间[1，5]上的增函数，
所以f（x）在[1，5]上的最小值为f(1)=

，最大值为f（5）=

．

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