已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．则|AC|的取值范围为．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定义在R上的函数，其图象与X轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．则|AC|的取值范围为．

[3，4

√3

]

解：①由可知f（x）在区间[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
∴x=0是f（x）的一个极值点，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0
②令f′（x）=0，则3ax²+2bx=0，
解得 x₁=0，x₂=-

．
又f（x）在区间[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
得

{

≥2

≤4

解得-6≤

≤-3．
③由题意，可设A（α，0），C（β，0），
则由题???可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]=ax³+bx²+cx+d
则

{	b=-a(2+α+β) c=2α+2β+αβ=0 d=-2aαβ

，解得

{

α+β=-

-2

αβ=-

又∵函数f（x）的图象交x轴于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），
αβ=4+

从而 |AC|=|α-β|=

√(α+β)²-4αβ

√(

-2)²-16

∵-6≤

≤-3
∴当

=-6时，|AC|max=4

√3

；当

=-3时，|AC|min=3．
所以3≤|AC|≤4

√3

故答案为：[3，4

√3

]

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