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已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
+ax-lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)-x
2
,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)
f
′
(x)=2x+a-
1
x
=
2x
2
+ax-1
x
≤0在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x
2
+ax-1,
有
{
h(1)≤0
h(2)≤0
得
{
a≤-1
a≤-
7
2
,
得a≤-
7
2
(6分)
(2)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,
g
′
(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
(7分)
当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)
min
=g(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),
∴g(x)无最小值.
当0<
1
a
<e时,g(x)在(0,
1
a
)上单调递减,在(
1
a
,e]上单调递增
∴g(x)
min
=g(
1
a
)=1+lna=3,a=e
2
,满足条件.(11分)
当
1
a
≥e时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)
min
=g(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),
∴f(x)无最小值.(13分)
综上,存在实数a=e
2
,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.(14分)
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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