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设f(x)=x+4x2(x>0).(1)判断并用定义证明函数f(x)在区间(2,+∞)上的单调性;(2)若m∈R,求函数f(x)在闭区间[2m,2m+1]上的值域.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设f(x)=x+
4
x
2
(x>0).
(1)判断并用定义证明函数f(x)在区间(2,+∞)上的单调性;
(2)若m∈R,求函数f(x)在闭区间[2
m
,2
m+1
]上的值域.
试题解答
见解析
解:(1)f(x)在(2,+∞)上单调递增,证明如下:
任取x
1
,x
2
∈(2,+∞),且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=(
x
1
+
4
x
1
2
)-(x
2
+
4
x
2
2
)
=(x
1
-x
2
)+(
4
x
1
2
-
4
x
2
2
)
=(x
1
-x
2
)(1-
4(x
1
+x
2
)
x
1
2
x
2
2
)
=(x
1
-x
2
)(1-
4
x
1
x
2
2
-
4
x
1
2
x
2
),
∵x
1
,x
2
∈(2,+∞),且x
1
<x
2
,
∴x
1
-x
2
<0,
x
1
x
2
2
>8,
x
1
x
2
2
>8,∴
4
x
1
x
2
2
<
1
2
,
4
x
1
2
x
2
<
1
2
,
∴1-
4
x
1
x
2
2
-
4
x
1
2
x
2
>0,
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
故f(x)在区间(2,+∞)上单调递增;
(2)f′(x)=1-
8
x
3
,当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)在(0,2)上递减,由(1)知f(x)???(2,+∞)上递增,
则①当2
m+1
≤2,即m≤0时,值域为[f(2
m+1
),f(2
m
)]=[2
m+1
+
1
2
2m
,2
m
+
4
2
2m
];
②当2
m
≥2,即m≥1时,值域为[f(2
m
),f(2
m+1
)]=[2
m
+
4
2
2m
,2
m+1
+
1
2
2m
];
③当2
m
<2<2
m+1
,即0<m<1时,函数最小值为f(2)=3,
最大值为f(2
m
)与f(2
m+1
)中的较大者,且f(2
m+1
)-f(2
m
)=2
m+1
+
1
2
2m
-2
m
-
4
2
2m
=2
m
-
3
2
2m
,
当0<m≤log
8
3时,值域为[f(2),f(2
m
)]=[3,2
m
+
4
2
2m
];
当log
8
3<m<1时,值域为[f(2),f(2
m+1
)]=[3,2
m+1
+
1
2
2m
].
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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