• 函数在(1,2)上存在单调递增区间的充要条件是 .试题及答案-单选题-云返教育

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      函数在(1,2)上存在单调递增区间的充要条件是         

      试题解答


      a∈(-,+∞)
      先将函数在(1,2)上存在单调递增区间的问题转化为其导函数f′(x)>0在(1,2)上能成立问题,再将导函数的分子看做新函数g(x),通过导数讨论其图象性质即可得g(x)>0在(1,2)上能成立时a的范围

      =(x>0)
      设g(x)=2x
      3+ax+1,则g′(x)=6x2+a
      若a≥-6,则因为6x
      2>6在(1,2)上恒成立,所以g′(x)>0,从而f′(x)>0,f(x)在(1,2)上为增函数
      若-24<a<-6,则由g′(x)=0,得x=±
      且2>>1
      ∴g(x)在(1,
      )上是减函数,在(,2)上为增函数
      要使函数
      在(1,2)上存在单调递增区间
      只需g(x)>0在(1,2)上能成立
      只需g(1)=3+a>0,或g(2)=17+2a>0
      即a>-
      ,此时-<a<-6
      若a≤-24,则因为24>6x
      2>6在(1,2)上恒成立,所以g′(x)<0,从而f′(x)<0,f(x)在(1,2)上为减函数,不合题意
      综上所述,函数
      在(1,2)上存在单调递增区间的充要条件是a∈(-,+∞)
      故答案为a∈(-
      ,+∞)
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