称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减，则以下函数是好函数的有（填写函数编号）①y=|x-2|；②y=x|x-2|；③y=x3-3x+1；④y=x3+x+3．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：（1）定义在R上；（2）存在a＜b，使其在（-∞，a），（b，+∞）上单调递增，在（a，b）上单调递减，则以下函数是好函数的有（填写函数编号）
①y=|x-2|；
②y=x|x-2|；
③y=x³-3x+1；
④y=x³+x+3．

②③

①和②可讨论x去绝对值，然后根据二次函数可得函数的单调区间，③和④都是多项式函数，可利用导数研究函数的单调区间，然后根据“好函数”的定义进行判定即可．

①中函数y=|x-2|定义域为R，y=|x-2|=

∴不存在a，使y=|x-2|在（-∞，a）???单调递增，故不正确；
②中函数y=x|x-2|定义域为R，y=x|x-2|=

∴y=x|x-2|在（-∞，1）、（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，满足好函数的定义，故正确；
③中函数y=x³-x+1定义域为R，则y′=3x²-1＜0解得x∈（-

，

），
y′=3x²-1＞0解得x∈（-∞，-

）∪（

，+∞），
∴y=x³-x+1在（-∞，-

）、（

，+∞）上单调递增，在（-

，

）上单调递减，满足好函数的定义，故正确；
④中函数y=x³+x+3定义域为R，则y′=3x²+1＞0恒成立
故不存在a＜b，使函数y=x³+x+3在（a，b）上单调递减，不满足好函数的定义，故不正确；
故答案为：②③

标签