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  • 已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax（a＜1）．（Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；（Ⅱ） 证明：（n∈N*）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax（a＜1）．
      （Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；
      （Ⅱ） 证明：      （n∈N*）．

      试题解答

      见解析
      （ I）∵
      ①若a=0时，
      ∵
      ∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
      ②若0＜a＜1时，
      f′（x）＞0?ax      2+2x+a＞0．
      ∴f（x）在      单调递减，在和上单调递增．
      ③若      时，
      f'（x）≤0对x∈R恒成立，
      ∴f（x）在R上单调递减；
      ④若-1＜a＜0时，
      由f′（x）＞0?ax      2+2x+a＞0
      再令f′（x）＜0，可得      或，
      ∴f（x）在      单调递增，在和上单调递减
      综上所述，
      若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．；
      若-1＜a＜0时，f（x）在      单调递增，在上单调递减，上单调递减
      若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减
      若0＜a＜1时，f（x）在      单调递减，在和上单调递增．
      （ II）由（ I）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
      当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
      ∴ln（1+x      2）＜x，
      ∴      =；
      ∴      ．命题得证．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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