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  • 已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-12，12]?A，则实数a的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x（2+a|x|），且关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]?A，则实数a的取值范围是          ．

      试题解答

      （-1，0）
      解：当x≥0时，f（x）=ax2+2x=a（x+
      1
      a
      ）2-
      1
      a
      ，
      当x＜0时，g（x）=-ax      2+2x=-a（x-
      1
      a
      ）2+
      1
      a
      ，
      当a=0时，A是空集，舍去，
      当a＞0时，二次函数f（x）开口向上，对称轴x=-
      1
      a
      ，f（x）在x≥0上是增函数，A是空集，
      二次函数g（x）开口向下，对称轴x=
      1
      a
      ，g（x）在x＜0上是增函数，A是空集，
      当a＜0时，二次函数f（x）开口向下，在[0，-
      1
      a
      ]上是增函数，在（
      1
      a
      ，+∞）上是减函数，
      二次函数g（x）开口向上，在（-∞，
      1
      a
      ]上是减函数，在（
      1
      a
      ，0）上是增函数，
      ∴a＜0时，A非空集，
      对于任意的x属于[-
      1
      2
      ，
      1
      2
      ]，f（x+a）＜f（x）成立．
      当x≤0时，g（x+a）＜g（x）=g（
      2
      a
      -x）≤0，由g（x）区间单调性知，
      x+a＜x且x+a＞
      2
      a
      -x，解得，-1＜a＜0
      当x＞0时，
      1
      2
      ＜-
      1
      a
      ，函数f（x）在单调增区间内满足f（x+a）＜f（x），
      ∴a的取值范围为，-1＜a＜0，
      故答案为：（-1，0）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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