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  • 已知函数f(x)=loga2-x2+x，(a＞0，a≠1)．（1）当a=3时，求函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的定义域，并求函数g（x）=-ax2-（2x+4）af（x）+4的值域（用a表示）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=loga
      2-x
      2+x
      ，(a＞0，a≠1)．
      （1）当a=3时，求函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值和最小值；
      （2）求函数f（x）的定义域，并求函数g（x）=-ax      2-（2x+4）af（x）+4的值域（用a表示）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令u=
      2-x
      2+x
      =
      4
      x+2
      -1，函数u在x∈[-1，1]上单调递减，故u∈[
      1
      3
      ，3]，
      故y=log      3u∈[-1，1]，即当x∈[-1，1]时，f（x）max=1（在u=3，即x=-1时取得），
      f（x）      min=-1（在u=
      1
      3
      ，即x=1时取得）；
      （2）由
      2-x
      2+x
      ＞0?（2-x）（2+x）＞0，解得-2＜x＜2，
      ∴函数f（x）的定义域为（-2，2），
      g（x））=-ax      2-（2x+4）af（x）+4=-ax2-（2x+4）aloga
      2-x
      2+x
      +4=-ax2+2x，x∈（-2，2），
      因为a＞0且a≠1，故g（x）的开口向下，且对称轴x=
      1
      a
      ＞0，
      于是：①当
      1
      a
      ∈(0，2)，即a∈(
      1
      2
      ，1)∪(1，+∞)时，
      g（x）的值域为(g(-2)，g(
      1
      a
      )]=(-4(a+1)，
      1
      a
      ]；
      ②当
      1
      a
      ≥2，即a∈(0，
      1
      2
      ]时，g（x）的值域为（g（-2），g（2））=（-4（a+1），4（1-a））．
      综上，当a∈(
      1
      2
      ，1)∪(1，+∞)时，函数g（x）的值域为(-4(a+1)，
      1
      a
      ]；
      当a∈(0，
      1
      2
      ]时，函数g（x）的值域为（-4（a+1），4（1-a））．
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