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对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N*上,函数值也在N*中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.(Ⅰ)判断函数f(3x)=2×3x(x∈N)是否是N上的严格增函数;(Ⅱ)证明:f(3k)=3f(k);(Ⅲ)是否存在正整数k,使得f(k)=2012,若存在求出k值;若不存在请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
对于定义域为A的函数f(x),如果任意的x
1
,x
2
∈A,当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)<f(x
2
),则称函数f(x)是A上的严格增函数;函数f(k)是定义在N
*
上,函数值也在N
*
中的严格增函数,并且满足条件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)判断函数f(3
x
)=2×3
x
(x∈N)是否是N上的严格增函数;
(Ⅱ)证明:f(3k)=3f(k);
(Ⅲ)是否存在正整数k,使得f(k)=2012,若存在求出k值;若不存在请说明理由.
试题解答
见解析
(Ⅰ)解:设任意的x
1
,x
2
∈N,当x
1
<x
2
时,有3
x
1
<3
x
2
,则3
x
1
-3
x
2
<0,
∴f(3
x
1
)-f(3
x
2
)=2?3
x
1
-2?3
x
2
=2(3
x
1
-3
x
2
)<0,
∴函数f(3
x
)=2×3
x
(x∈N)是N上的严格增函数.
(Ⅱ)证明:∵对k∈N
*
,f(f(k))=3k,
∴f[f(f(k))]=f(3k)①,
由已知f(f(k))=3k,得f[f(f(k))]=3f(k)②,
由①、②得f(3k)=3f(k),
故f(3k)=3f(k);
(Ⅲ)先证明:f(3
k-1
)=2×3
k-1
(k∈N*).
若f(1)=1,由已知f(f(k))=3k得f(1)=3,矛盾;
设f(1)=a>1,∴f(f(1))=f(a)=3,③
由f(k)严格递增,即1<a?f(1)<f(a)=3,得
{
f(1)≠1
f(1)<3
f(1)∈N
*
,
∴f(1)=2,
由③f(f(1))=f(a)=3,得f(f(1))=f(2)=3,
∴f(1)=2,f(2)=3,f(3)=3f(1)=6,f(6)=f(3?2)=3f(2)=9,f(9)=3f(3)=18,f(18)=3f(6)=27,f(27)=3f(9)=54,f(54)=3f(18)=81,…
依此类推归纳猜出:f(3
k-1
)=2×3
k-1
(k∈N*).
下面用数学归纳法证明:
(1)当k=1时,显然成立;
(2)假设当k=l(l≥1)时成立,即f(3
l-1
)=2×3
l-1
,
那么当k=l+1时,f(3
l
)=f(3×3
l-1
)=3f(3
l-1
)=3×2×3
l-1
=2?3
l
.猜想成立,
由(1)、(2)所证可知,对k∈N
*
f(3
k-1
)=2×3
k-1
成立.
∵f(3
k-1
)=2×3
k-1
(k∈N*),且f(x)是严格单调增函数,
∴存在p=3
k-1
+1,当p个连续自然数从3
k-1
→2×3
k-1
时,函数值正好也是p个连续自然数从f(3
k-1
)=2×3
k-1
→f(2×3
k-1
)=3
k
.
而2×3
7-1
<2012<3
7
,即f(3
7-1
)<2012<f(2×3
7-1
),
∴必存在k,满足3
7-1
<k<2×3
7-1
,使得f(k)=2012.
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