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已知函数f(x)=lg(x2+tx+1),(t为常数,且t>-2)(1)当x∈[0,2]时,求f(x)的最小值(用t表示);(2)是否存在不同的实数a,b,使得f(a)=lga,f(b)=lgb,并且a,b∈(0,2),若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=lg(x
2
+tx+1),(t为常数,且t>-2)
(1)当x∈[0,2]时,求f(x)的最小值(用t表示);
(2)是否存在不同的实数a,b,使得f(a)=lga,f(b)=lgb,并且a,b∈(0,2),若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
试题解答
见解析
(1)令g(x)=x
2
+tx+1,对称轴方程为x=-
,
∵x∈[0,2],∴由对称轴x=-
与区间[0,2]的位置关系进行分类讨论:
①当-
≤0,即t≥0时,g(x)min=g(0)=1,∴f(x)min=0.
②当0<-
<2,即-4<t<0时,g(x)min=g(-
)=1-
,
考虑到g(x)>0,所以-2<t<0,f(x)min=f(-
)=lg(1-
);
③当-
≥2,即t≤-4时,g(x)min=g(2)=5+2t,
考虑到g(x)>0,∴f(x)没有最小值.
综上所述:当t≤-2时f(x)没有最小值;
当t>-2时,f(x)
min
=
.
???2)假设存在.
由题设条件,得
,
等价于x
2
+tx+1=x在区间(0,2)上有两个不同的实根,
令h(x)=x
2
+(t-1)x+1在(0,2)上有两个不同的零点
∴
,即
,
解得-
<t<-1.
故实数t的取值范围是(-
,-1).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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