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  • 已知函数f（x）=lgkx-1x-1（k∈R）．（1）若y=f（x）是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；（2）若函数y=f（x）在[10，+∞）上是单增函数，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=lg
      kx-1
      x-1
      （k∈R）．
      （1）若y=f（x）是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；
      （2）若函数y=f（x）在[10，+∞）上是单增函数，求k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵y=f（x）是奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x），即lg
      -kx-1
      -x-1
      =-lg
      kx-1
      x-1
      ，
      ∴
      -kx-1
      -x-1
      =
      x-1
      kx-1
      ，即1-k2x2=1-x2，
      则k      2=1，k=±1．
      而k=1不合题意舍去，
      ∴k=-1．
      由
      -x-1
      x-1
      ＞0，得-1＜x＜1．
      ∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
      （2）∵f（x）在[10，+∞）上是增函数，
      ∴
      10k-1
      10-1
      ＞0，
      ∴k＞
      1
      10
      ．
      又f（x）=lg
      kx-1
      x-1
      =lg（k+
      k-1
      x-1
      ），
      故对任意的x      1，x2，当10≤x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），
      即lg（k+
      k-1
      x1-1
      ）＜lg（k+
      k-1
      x2-1
      ），
      ∴
      k-1
      x1-1
      ＜
      k-1
      x2-1
      ，
      ∴（k-1）?（
      1
      x1-1
      -
      1
      x2-1
      ）＜0，
      又∵
      1
      x1-1
      ＞
      1
      x2-1
      ，
      ∴k-1＜0，
      ∴k＜1．
      综上可知k∈（
      1
      10
      ，1）．
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