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设f(2x)=x2+bx+c(b,c∈R),(x∈[0,+∞))(1)求函数f(x)的解析式和定义域;(2)若f(1)=1,求函数f(x)在x∈[1,4]时的最大值g(b),并求函数g(b)的最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设f(2
x
)=x
2
+bx+c(b,c∈R),(x∈[0,+∞))
(1)求函数f(x)的解析式和定义域;
(2)若f(1)=1,求函数f(x)在x∈[1,4]时的最大值g(b),并求函数g(b)的最小值.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(2
x
)=x
2
+bx+c(b,c∈R),(x∈[0,+∞));
设2
x
=t,则t≥1,∴x=log
2
t,
∴f(t)=
(log
2
t)
2
+blog
2
t+c,
即f(x)=
(log
2
x)
2
+blog
2
x+c,定义域为[1,+∞);
(2)∵f(1)=1,∴c=1,
∴f(x)=
(log
2
x)
2
+blog
2
x+1,其中x∈[1,4];
∴f′(x)=2log
2
x?
1
xln2
+
b
xln2
=
2log
2
x+b
xln2
,
∵x∈[1,+4],
∴xln2>0,2log
2
x+b=0;
∴x=2
-
b
2
,且1≤2
-
b
2
≤4,得-4≤b≤0,
∴f(x)在x∈[1,4]时的最大值:
g(b)=f(2
-
b
2
)=
(-
b
2
)
2
+b?(-
b
2
)+1=-
b
2
4
+1,
当b=-4时,g(b)的最小值是g(b)
min
=g(-4)=-
16
4
+1=-3.
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必修1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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