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  • 已知f(x)=x+bx-3， x∈[1，2]．（1）b=2时，求f（x）的值域；（2）若b为正实数，f（x）的最大值为M???最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=x+
      b
      x
      -3， x∈[1，2]．
      （1）b=2时，求f（x）的值域；
      （2）若b为正实数，f（x）的最大值为M???最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当b=2时，f(x)=x+
      2
      x
      -3，x∈[1，2]，
      因为f（x）在[1，
      √2
      ]上单调递减，在[
      √2
      ，2]上单调递增，…（2分）
      所以f（x）的最小值为f(
      √2
      )=2
      √2
      -3，…（4分）
      又因为f（1）=f（2）=0…（5分）
      所以f（x）的值域为[2
      √2
      -3，0]…（6分）
      （2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
      则m=b-2，M=
      b
      2
      -1，此时M-m=-
      b
      2
      +1≥4，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）
      ②当2≤b＜4时，f（x）在[1，
      √b
      ]上单调递减，在[
      √b
      ，2]上单调递增，
      所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2，m=f(
      √b
      )=2
      √b
      -3，
      则M-m=b-2
      √b
      +1≥4，得(
      √b
      -1)2≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）
      ③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，
      则M=b-2，m=
      b
      2
      -1，此时M-m=
      b
      2
      -1≥4，得b≥10…（13分）
      综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）
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