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  • 定义符号函数sgnx={1，x＞00，x=0-1，x＜0，设f（x）=sgn(12-x)+12?f1（x）+sgn( x-12)+1 2?f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=x+12，f2（x）=2（1-x），则f（x）的最大值等于（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义符号函数sgnx=
      {
      1，x＞0
      0，x=0
      -1，x＜0
      ，设f（x）=
      sgn(
      1
      2
      -x)+1
      2
      ?f1（x）+
      sgn( x-
      1
      2
      )+1
      2
      ?f2（x），x∈[0，1]，若f1（x）=x+
      1
      2
      ，f2（x）=2（1-x），则f（x）的最大值等于（　　）

      试题解答

      B
      解：①当x=
      1
      2
      时，sgn(x-
      1
      2
      )=sgn(
      1
      2
      -x)=0，
      因此f（x）=
      sgn(
      1
      2
      -x)+1
      2
      ?f1（x）+
      sgn( x-
      1
      2
      )+1
      2
      ?f2（x）=
      1
      2
      f1（x）+
      1
      2
      f2（x），
      ∵f      1（x）=x+
      1
      2
      ，f2（x）=2（1-x），
      ∴f（x）=
      1
      2
      x+
      1
      4
      +（1-x）=
      5
      4
      -
      1
      2
      x
      代入x=
      1
      2
      ，得f（
      1
      2
      ）=1；
      ②当x＞
      1
      2
      时，sgn(x-
      1
      2
      )=1，sgn(
      1
      2
      -x)=-1，
      因此f（x）=
      sgn(
      1
      2
      -x)+1
      2
      ?f1（x）+
      sgn( x-
      1
      2
      )+1
      2
      ?f2（x）=f2???x）
      ∴f（x）=2（1-x），在区间（
      1
      2
      ，+∞）内是减函数，所以f（x）＜2（1-
      1
      2
      ）=1恒成立；
      ③当x＜
      1
      2
      时，sgn(x-
      1
      2
      )=-1，sgn(
      1
      2
      -x)=1，
      因此f（x）=
      sgn(
      1
      2
      -x)+1
      2
      ?f1（x）+
      sgn( x-
      1
      2
      )+1
      2
      ?f2（x）=f1（x），
      ∴f（x）=x+
      1
      2
      ，在区间（-∞，
      1
      2
      ）内是增函数，所以f（x）＜
      1
      2
      +
      1
      2
      =1恒成立．
      综上所述，则f（x）的最大值等于1．
      故选B
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      必修1人教A版单选题高中数学

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