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如图,正方形ABCD的边长为4,E为CD的中点,F为AD边上一点,且不与点D重合,AF=a,(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值,若存在,求出来,若不存在,说明理由(2)若∠BFE=∠FBC,求tan∠AFB 的值(3)在(2)的条件下,若将“E是CD的中点”改为“CE=k?DE”,其中k为正整数,其他条件不变,请直接写出tan∠AFB的值(用k的代数式表示)试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
如图,正方形ABCD的边长为4,E为CD的中点,F为AD边上一点,且不与点D重合,AF=a,
(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值,若存在,求出来,若不存在,说明理由
(2)若∠BFE=∠FBC,求tan∠AFB 的值
(3)在(2)的条件下,若将“E是CD的中点”改为“CE=k?DE”,其中k为正整数,其他条件不变,请直接写出tan∠AFB的值(用k的代数式表示)
试题解答
见解析
(1)如图,连接BE,
S
四边形BCEF
=S正
方形ABCD
-S△
ABF
-S
△DEF
=4
2
-
×4×a-
×2×(4-a)=12-a,
∵F为AD边上一点,且不与点D重合,
∴0≤a<4,
∴当点F与点A重合时,a=0,S
四边形BCEF
存在最大值12.
S
四边形BCEF
不存在最小值.
(2)如图,延长BC,FE交于点P,
∵正方形ABCD,
∴AD∥BC.
∴△DEF∽△CEP.
∵E为CD的中点,
∴
=
=1,PF=2EF.
∵∠BFE=∠FBC,
∴PB=PF.
∵AF=a,
∴PC=DF=4-a,PB=PF=8-a,
EF=
=
.
∵Rt△DEF中,EF
2
=DE
2
+DF
2
,
∴
=2
2
+(4-a)
2
整理,得3a
2
-16a+16=0,
解得,a
1
=
,a
2
=4;
∵F点不与D点重合,
∴a=4不成立,a=
,tan∠AFB=
=3.
(3)延长BC,FE交于点P,
∵正方形ABCD,
∴AD∥BC,
∴△DEF∽△CEP.
∵E为CD的中点,
∴
=
=1,
=
=
,PF=(k+1)EF.
∵∠BFE=∠FBC,
∴PB=PF,
∵AF=a,
∴PC=DF=4-a,PB=PF=8-a.
EF=
=
.
∵Rt△DEF中,EF
2
=DE
2
+DF
2
,
∴(
)
2
=(
)
2
+(4-a)
2
整理,
×
=(4-a)
2
,
(k+1)
2
=
,
解得a=
,
∴tan∠AFB=
=2k+1(k为正数).
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