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  • 已知函数f（x）=x2+1ax+b是其定义域内的奇函数，且f（1）=2，（1）求 f（x）的表达式；（2）设F（x）=xf(x)（ x＞0 ），求F（1）+F（2）+F（3）+…+F(2007)+F(12)+F(13)+…+F(12007)的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      x2+1
      ax+b
      是其定义域内的奇函数，且f（1）=2，
      （1）求 f（x）的表达式；
      （2）设F（x）=
      x
      f(x)
      （ x＞0 ），求F（1）+F（2）+F（3）+…+F(2007)+F(
      1
      2
      )+F(
      1
      3
      )+…+F(
      1
      2007
      )的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x)=
      x2+1
      ax+b
      是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
      ∴
      x2+1
      -ax+b
      =-
      x2+1
      ax+b
      ，∴b=0，
      故f(x)=
      x2+1
      ax
      ，
      又∵f（1）=2，∴
      2
      a
      =2，∴a=1
      ∴f(x)=
      x2+1
      x
      ．

      （2） 由（1）知F(x)=
      x2
      x2+1
      （x＞0）
      ∴F(
      1
      x
      )=
      (
      1
      x
      )2
      (
      1
      x
      )2+1
      =
      1
      1+x2

      ∴F(x)+F(
      1
      x
      )=1
      ∴F(1)+F(2)+F(3)++F(2007)+F(
      1
      2
      )+F(
      1
      3
      )++F(
      1
      2007
      )
      =F(1)+[F(2)+F(
      1
      2
      )]+[F(3)+F(
      1
      3
      )]++[F(2007)+F(
      1
      2007
      )]
      =
      1
      2
      +2006×1
      =
      4013
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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