已知函数f（x）是???义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，求a的取值范围；（3）试证明对?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）是???义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=ax+lnx，其中a∈R．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，求a的取值范围；
（3）试证明对?a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=

．

见解析

（1）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=-ax+ln（-x），
又∵f（x）是定义定义在实数集R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），f（0）=0
∴函数f（x）的解析式为

；
（2）函数f（x）是奇函数，若函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调减少，当且仅当f（x）在区间（1，+∞）上单调减少，
当x＞0时，f（x）=ax+lnx，f′（x）=a+

，
由f′（x）=a+

≤0，得a

，

在区间（1，+∞）上的取值范围为（-1，0），
所以a的取值范围为（-∞，1]，
（3）

=a+

，
解f′（ξ）=a+

=a+

，得ξ=e-1，
因为1＜e-1＜e，所以ξ=e-1为所求．

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