已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)={f(x)(x＞0)-f(x)(x＜0)（1）若不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设m?n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=

{	f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m?n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？

见解析

解：（1）由已知不等式ax²+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，故a＞0，且方程ax²+bx-3=0的两根为-3，1，由韦达定理，得

{

a＞0

=-2

=-3.

解得a=1，b=2．因此，F(x)=

{	(x+1)²(x＞0) -(x+1)²(x＜0)

（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²+（2-k）x+1=(x+

2-k

)²+1-

(2-k)²

，
当

k-2

≥1或

k-2

≤-1时，即k≥4或k≤0时，g（x）是单调函数．
（3）∵f（x）是偶函数∴f（x）=ax²+1，F(x)=

{	ax²+1(x＞0) -ax²-1(x＜0)

，
∵m?n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．

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