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  • 已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；（II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，π2]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-4sinθ+cosθ]+f(3+2m)＞0对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足．
      （I）判断f（x）的单调性和奇偶性；
      （II）是否存在这样的实数m，当θ∈[，
      π
      2
      ]时，不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
      4
      sinθ+cosθ
      ]+f(3+2m)＞0
      对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，
      有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
      即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
      在R上任取x      1＜x2，则x1-x2＜0，
      由题意知f（x      1-x2）＜0，
      则f（x      1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
      故f（x）是增函数（6分）
      （II）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
      4
      sinθ+cosθ
      ]+f(3+2m)＞0，
      只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
      4
      sinθ+cosθ
      ]＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
      又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
      4
      sinθ+cosθ
      ＞-3-2m（8分）
      令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t      2-1，∵θ∈[0，
      π
      2
      ]，∴t=
      √2
      sin(θ+
      π
      4
      )∈[1，
      √2
      ]，
      原命题等价于      t2-1-(m+2)t-
      4
      t
      +3+2m＞0对t∈[1，
      √2
      ]恒成立．（10分）
      ∴(2-t)m＞2t-t2+
      4
      t
      -2，即m＞
      t(2-t)+
      2
      t
      (2-t)
      2-t
      =t+
      2
      t
      令g(t)=t+
      2
      t
      ，则g′(t)=1-
      2
      t2
      ，
      当t∈[1，
      √2
      ]时，g′(t)＜0，
      故g(t)在[1，
      √2
      ]上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．（12分）
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