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  • 已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(1x-1)≥2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
      （1）判断f（x）的奇偶性；
      （2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
      1
      x-1
      )≥2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
      不妨设x=y=0，则f（0）=0，
      令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）
      ?f（x）+f（-x）=0
      ?f（-x）=-f（x），
      故f（x）是奇函数；
      （2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）
      ∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，
      不等式化为f(x)＞f(
      1
      x-1
      )+2?f(x)＞f(
      1
      x-1
      )+f(2)?f(x)＞f(
      1
      x-1
      +2)（*）
      ∵当x≠y时，f（x）≠f（y），
      x＞0时，有f（x）＞0，
      设x      2＞x1＞0则：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）
      ∴f（x      2）-f（x1）=f（x2）+f（x2）-f（x1+x2）=f（2x2）+f（-x1-x2）=f（x2-x1），又x2-x1＞0，
      ∴f（x      2-x1）＞0
      即f（x      2）-f（x1）＞0?f（x2）＞f（x1），
      故f（x）在（0，+∞）上递增，由f（x）为奇函数，
      ∴x＜0时必有f（x）＜0，加之f（0）=0，
      于是f（x）在R上为增函数．
      根据（*）式不等式化为：x＞
      1
      x-1
      +2?（x-1）（x2-3x+1）＞0，
      利用穿针线法得：
      不等式的解集为：{x|
      3-
      √5
      2
      ＜x＜1或x＞
      3+
      √5
      2
      }．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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