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  • 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：①g（x）=sinx(1-sinx)1-sinx；②g（x）=sin（52π+x）；③g（x）=1+sinx-cosx1+sinx+cosx；④g（x）=lgsinx；⑤g（x）=lg（√x2+1+x）；⑥g（x）=2ex+1-1其中可以使函数F（x）=f（x）?g（x）是偶函数的函数是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：
      ①g（x）=
      sinx(1-sinx)
      1-sinx
      ；
      ②g（x）=sin（
      5
      2
      π+x）；
      ③g（x）=
      1+sinx-cosx
      1+sinx+cosx
      ；
      ④g（x）=lgsinx；
      ⑤g（x）=lg（
      √x2+1
      +x）；
      ⑥g（x）=
      2
      ex+1
      -1
      其中可以使函数F（x）=f（x）?g（x）是偶函数的函数是（　　）

      试题解答

      C
      解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，
      ∴若使函数F（x）=f（x）?g（x）是偶函数，则g（x）是奇函数即可．
      ①g（x）=
      sinx(1-sinx)
      1-sinx
      =sinx，要使函数有意义，则1-sinx≠0，即sinx≠1，即x≠2kπ+
      π
      2
      ，定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数；
      ②g（x）=sin（
      5
      2
      π+x）=cosx，为偶函数，不满足条件；
      ③g（x）=
      1+sinx-cosx
      1+sinx+cosx
      ；则g（
      π
      2
      ）=
      2
      2
      =1，当x=-
      π
      2
      无意义，即函数定义域关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
      ④g（x）=lgsinx；要使函数有意义，则sinx＞0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，即函数定义???关于原点不对称，∴g（x）为非奇非偶函数
      ⑤若g（x）=lg（
      √x2+1
      +x）；则g（-x）=lg(
      √x2+1
      -x)=lg
      1
      √x2+1
      +x
      =lg(
      √x2+1
      +x)-1=-lg?(
      √x2+1
      +x)=-g(x)，
      ∴g（x）为奇函数，满足条件．
      ⑥∵g（x）=
      2
      ex+1
      -1=
      2-ex-1
      ex+1
      =
      1-ex
      ex+1
      ，
      ∴g(-x)=
      1-e-x
      e-x+1
      =
      ex-1
      ex+1
      =-
      1-ex
      ex+1
      =-g(x)，
      即函数g（x）是奇函数，满足条件．
      故选：C．
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