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  • 已知函数f（x）=x+ax，且f（1）=2．（1）求a的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      a
      x
      ，且f（1）=2．
      （1）求a的值；
      （2）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
      （3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得 1+
      a
      1
      -2，解得a=1．
      （2）由（1）可得fx）=x+
      1
      x
      ，它的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
      再由f（-x）=-x-
      1
      x
      =-（x+
      1
      x
      ）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
      （3）此函数在区间（1，+∞）上是增函数．
      证明：设x      2＞x1＞1，可得f（x2）-f（x1）=（x2+
      1
      x2
      ）-（x1+
      1
      x1
      ）=x2-x1+
      x1-x2
      x1?x2
      =（x2-x1）（1-
      1
      x1?x2
      ）．
      由题设可得x      2-x1＞0，
      1
      x1?x2
      ＜1，故 1-
      1
      x1?x2
      ＞0，∴f （x2）-f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1），
      故函数在区间（1，+∞）上是增函数．
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