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  • 已知函数f（x）=log23x-13x+1，（x∈（-∞，-13）∪（13，+∞））（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数f（x）在区间（13，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=log2
      3x-1
      3x+1
      ，（x∈（-∞，-
      1
      3
      ）∪（
      1
      3
      ，+∞））
      （1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
      （2）判断函数f（x）在区间（
      1
      3
      ，+∞）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f（x）是奇函数．证明如下
      证明：由题意可得函数的定义域关于原点对称
      因为f（-x）=log      2
      -3x-1
      -3x+1
      =log2
      3x+1
      3x-1
      =log2（
      3x-1
      3x+1
      ）-1=-f（x），
      所以函数f（x）是奇函数．
      （2）f（x）在区间（
      1
      3
      ，+∞）上的单调递减，证明如下
      证明：令g（x）=
      3x-1
      3x+1
      =
      x-
      1
      3
      x+
      1
      3
      =1-
      4
      3
      x+
      1
      3

      设
      1
      3
      ＜x1＜x2，则g（x1）-g（x2）=1-
      4
      3
      x1+
      1
      3
      -(1-
      4
      3
      x2+
      1
      3
      )
      =
      4
      3
      x2+
      1
      3
      -
      4
      3
      x1+
      1
      3
      =
      4
      3
      (x1-x2)
      (
      1
      3
      +x1)(
      1
      3
      +x2)

      ∵
      1
      3
      ＜x1＜x2，则x1-x2＜0，(x1+
      1
      3
      )(x2+
      1
      3
      ) ＞0
      ∴即g（x      1）＜g（x2）
      ∴g（x）在（
      1
      3
      ，+∞）上单调递减
      由于y=log      2g（x）在（0，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知y=log2
      3x+1
      3x-1
      在（
      1
      3
      ，+∞）单调递减
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      必修1人教A版单选题高中数学

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